Родился в 1987 году в Москве в семье врачей. В 2004-м поступил в Государственный университет управления, но уже на первых курсах занялся бизнесом. У него было несколько предпринимательских проектов, последний из них в сфере вывоза и утилизации мусора; это дело он оставил в 2020 году, полностью сосредоточившись на коллекционировании.
Систематически собирать искусство начал в 2018–2019 годах, после того как на ярмарке Cosmoscow приобрел работу Ирины Кориной «Пятый элемент». Коллекция выстроена вокруг истории развития российского современного искусства с 1957 года (года Шестого Международного фестиваля молодежи и студентов в Москве, впервые познакомившего советских художников с послевоенным западным искусством) по настоящее время; она поделена на десять тематических разделов-маршрутов, от послевоенной абстракции и кинетического искусства до работ художников mid-career и новейшего искусства последних лет. Собрание насчитывает более тысячи произведений порядка ста авторов.
Козлов — соучредитель фонда «Новые коллекционеры», созданного вместе с Мариной Лошак, Антоном Беловым, Екатериной Лапшиной и Михаилом Каменским, а с 2023 года ведет собственный YouTube-канал «Пока все дома у Антона», в выпусках которого рассказывает об отдельных произведениях своей коллекции вместе с искусствоведами, кураторами и художниками.
Среди персональных выставочных проектов на основе коллекции Козлова «Афинская школа» с инсталляцией Романа Сакина (индустриальный кластер «Октава», Тула), «Двадцать один длинный, один короткий» (арт-галерея Ельцин Центра, Екатеринбург, 2025), «Расположение картин зависит от вкуса» (Мультимедиа Арт Музей, Москва, 2025), а также «Два авангарда» и «Над авангардом» (Екатеринбургский музей изобразительных искусств).
Произведения из собрания Козлова регулярно предоставляются музеям для групповых проектов. Работы из коллекции участвовали в проектах Третьяковской галереи, Дома культуры «ГЭС-2», Московского музея современного искусства, Мультимедиа Арт Музея и Еврейского музея и центра толерантности.
Живет и работает в Москве.